Tema 4: Puntos críticos, máximos o mínimos

El punto crítico se ubica en el punto tangencial de una recta horizontal, la cual tiene pendiente igual a cero.

En una parábola de función cuadrática, el punto crítico se ubica en el vértice.

Puntos críticos máximos

Punto crítico mínimo

Tema 3: Recta normal

La recta normal a una curva en un punto de tangencia dado, es una recta perpendicular a la tangente del ya mencionado punto.

╬ Para determinar la ecuación de la recta normal a una curva de una función f(x) en un punto (x, y) utilizamos la siguiente fórmula:

m = (-) 1/f'(x)

* CASO 1

Determina la ecuación de la recta normal a la curva de la función:

f(x) = x² + 5x⁴ en el punto (x = 2)

1º Calcular el punto “y”.

Para esto, se debe sustituir el punto “x” en la ecuación.

f(2) = 2² + 5(2⁴)

f(2) = 4 + 80

f(2) = 84


2º Calcular la pendiente de la recta normal.

Esto se hace con la fórmula: m = -1/f’(x)

m = -1/2x + 5

m = -1/-2 ^(-)

m= ½ = .5


3º Determina la ecuación punto-pendiente.

y-y ₁ = m(x – x₁)

y-84 = .5(x – 2)

y = .5x + 84

Tema 2: La ecuación de una línea tangente

- La ecuación de una línea tangente

Si una función es derivable en un punto P1 (x1, y1), entonces la gráfica de la función tiene una tangente en dicho punto, cuya pendiente es m1 = f’(x1)

Por ejemplo:

Diferentes rectas secantes y una tangente a una curva

La pendiente de la tangente es: m1 = f’(x1)

Caso 1: Para determinar la ecuación de la línea tangente se nos presentan 3 datos, que son:

• Ecuación de la función


• Punto "x"


• Punto "y"

EJEMPLO: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: f(x) = 7x² + 5x - 2 en el punto (6, 8)

1º Derivar la función:
f'(x) = 14x + 5

2º Sustituir el punto de "x" para calcular la pendiente.
f'(6) = 14(6) + 5
m = 89

3º Sustituir los datos de la forma punto-pendiente para determinar la ecuación de la línea tangente.
y - y₁ = m (x - x₁)
y - 8 = 89 (x - 6)
y = 89x - 534 + 8
y = 89x - 526

Tema 1: La Derivada

- Funciones Derivables

Al proceso para encontrar la derivada, se le llama diferenciación.

La derivada puede calcularse mediante la razón de cambio promedio, como lo indica su definición o utilizando la siguiente regla:

Si una función es:

f(x) = axn

Su derivada es:

f'(x) = anx^n-1

^{- Reglas básicas}

♠ Para una constante "a":

Si f(x) = a, su derivada es f'(x) = 0

Por ejemplo:
Si f(x) = 3, su derivada es f'(x) = 0

♠ Para la función identidad f(x) = x:

Si f(x) = x, su derivada es f’(x) = 1

Por ejemplo:
Si f(x) = x, su derivada es f’(x) = 1

♠ Para una constante “a” por una variable “x”:

Si f(x) = ax, su derivada es f’(x) = a

Por ejemplo:
Si f(x) = 15x, su derivada es f’(x) = 15

♠ Para una variable “x” elevada a una potencia “n”:

Si f(x) = xⁿ, su derivada es f’(x) = nx^n-1

Por ejemplo:
Si f(x) = x⁹, su derivada es f’(x) = 9x⁸

♠ Para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”:

Si f(x) = axn, su derivada es f’(x) = anx^n-1

Por ejemplo:
Si f(x) = 7x², su derivada es f’(x) = 14x

- Reglas básicas aplicadas en funciones polinominales para su derivación

a) Suma de fracciones

f(x) = 3x² + 4x + 6

f’(x) = 6x + 4

b) Regla del producto

Se aplica a funciones formadas por la multiplicación de polinomios y la fórmula a aplicar es:

f'(x) = u'v + uv'

Ejemplo:

f(x) = (2x³ + 3)(3x⁴ - 5)

f'(x) = (6x²)(3x⁴ - 5) + (2x³ +3)(12x³)

f'(x) = 18x⁶ - 30x² + 24x⁶ + 36x³

f'(x) = 42x⁶ + 36x³ - 30x²

c) Regla del cociente

Esta regla se aplica a la división de polinomios. Función = u/v y se aplica la fórmula:

f'(x) = u'v - uv' / v²

Ejemplo:

f(x) = 2x / x + 2

f'(x) = (2)(x + 2) - (2x)(1)

f'(x) = 2x + 4 - 2x / (x + 2)²

f'(x) = 4 / (x+2)²


d) Regla de la cadena

Este proceso se aplica a la función formada por un polinomio elevado a una potencia y en base a la fórmula:

f'(x) = n(u)^n-1(u)

Ejemplo:

f(x)= (2x³ + 3)⁵

f'(x) = 5(2x³ + 3)⁴ (6x²)

f'(x) = 5(6x²)(2x³ + 3)⁴

f'(x) = 30x² (2x³ +3)⁴

- Incremento de las variables "x" y "y"

1) Para determinar el incremento de la variable x ("Δx") se usa la ecuación:

Δx = X2 - X1

Ejemplo:
Determina el incremento de la variable "x" o "Δx" de la siguiente ecuación:

f(x) = 2x² + 5

x₁ = 4
x₂ = 7

Δx = 7 - 4
Δx = 3

2) Para determinar el incremento en la variable "y" o "Δy" se utiliza la fórmula siguiente:

Δy = f(x₂) - f(x₁)

Ejemplo:
Tomemos como ejemplo la ecuación anterior, f(x) = 2x² + 5, en donde Δx es igual a 3. Ahora, usando la fórmula, podemos calcular Δy.

Δy = 2(7)² + 5 - 2(4)² + 5

Δy = 103 - 37
Δy = 66

3) Para determinar la razón de cambio promedio, se debe sustituir la fórmula: Δy / Δx

Δy = 66
Δx = 3

Δy / Δx = 22