Tema 1: La Derivada

- Funciones Derivables

Al proceso para encontrar la derivada, se le llama diferenciación.

La derivada puede calcularse mediante la razón de cambio promedio, como lo indica su definición o utilizando la siguiente regla:

Si una función es:

f(x) = axn

Su derivada es:

f'(x) = anx^n-1

^{- Reglas básicas}

♠ Para una constante "a":

Si f(x) = a, su derivada es f'(x) = 0

Por ejemplo:
Si f(x) = 3, su derivada es f'(x) = 0

♠ Para la función identidad f(x) = x:

Si f(x) = x, su derivada es f’(x) = 1

Por ejemplo:
Si f(x) = x, su derivada es f’(x) = 1

♠ Para una constante “a” por una variable “x”:

Si f(x) = ax, su derivada es f’(x) = a

Por ejemplo:
Si f(x) = 15x, su derivada es f’(x) = 15

♠ Para una variable “x” elevada a una potencia “n”:

Si f(x) = xⁿ, su derivada es f’(x) = nx^n-1

Por ejemplo:
Si f(x) = x⁹, su derivada es f’(x) = 9x⁸

♠ Para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”:

Si f(x) = axn, su derivada es f’(x) = anx^n-1

Por ejemplo:
Si f(x) = 7x², su derivada es f’(x) = 14x

- Reglas básicas aplicadas en funciones polinominales para su derivación

a) Suma de fracciones

f(x) = 3x² + 4x + 6

f’(x) = 6x + 4

b) Regla del producto

Se aplica a funciones formadas por la multiplicación de polinomios y la fórmula a aplicar es:

f'(x) = u'v + uv'

Ejemplo:

f(x) = (2x³ + 3)(3x⁴ - 5)

f'(x) = (6x²)(3x⁴ - 5) + (2x³ +3)(12x³)

f'(x) = 18x⁶ - 30x² + 24x⁶ + 36x³

f'(x) = 42x⁶ + 36x³ - 30x²

c) Regla del cociente

Esta regla se aplica a la división de polinomios. Función = u/v y se aplica la fórmula:

f'(x) = u'v - uv' / v²

Ejemplo:

f(x) = 2x / x + 2

f'(x) = (2)(x + 2) - (2x)(1)

f'(x) = 2x + 4 - 2x / (x + 2)²

f'(x) = 4 / (x+2)²


d) Regla de la cadena

Este proceso se aplica a la función formada por un polinomio elevado a una potencia y en base a la fórmula:

f'(x) = n(u)^n-1(u)

Ejemplo:

f(x)= (2x³ + 3)⁵

f'(x) = 5(2x³ + 3)⁴ (6x²)

f'(x) = 5(6x²)(2x³ + 3)⁴

f'(x) = 30x² (2x³ +3)⁴

- Incremento de las variables "x" y "y"

1) Para determinar el incremento de la variable x ("Δx") se usa la ecuación:

Δx = X2 - X1

Ejemplo:
Determina el incremento de la variable "x" o "Δx" de la siguiente ecuación:

f(x) = 2x² + 5

x₁ = 4
x₂ = 7

Δx = 7 - 4
Δx = 3

2) Para determinar el incremento en la variable "y" o "Δy" se utiliza la fórmula siguiente:

Δy = f(x₂) - f(x₁)

Ejemplo:
Tomemos como ejemplo la ecuación anterior, f(x) = 2x² + 5, en donde Δx es igual a 3. Ahora, usando la fórmula, podemos calcular Δy.

Δy = 2(7)² + 5 - 2(4)² + 5

Δy = 103 - 37
Δy = 66

3) Para determinar la razón de cambio promedio, se debe sustituir la fórmula: Δy / Δx

Δy = 66
Δx = 3

Δy / Δx = 22